Sierpinski-svampen |
|
Sierpinski-svampen |
Sierpinski-svampen er en fraktal. Små dele ligner store dele, som igen ligner endnu større dele.
Den bygges ved, igen og igen, at klistre 20 mindre Sierpinski-svampe sammen på denne måde:
Skrevet rigtigt, ved hjælp af matematik, kan Sierpinski-svampen defineres sådan:
|
sierpinski 0
= kube hvor "kube" har hjørnerne (±1,±1,±1) sierpinski n = (flyt (+2/3,+2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt ( 0 ,+2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,+2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3, 0 ,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3, 0 ,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3,-2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt ( 0 ,-2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,-2/3,+2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3,+2/3, 0 ) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,+2/3, 0 ) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3,-2/3, 0 ) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,-2/3, 0 ) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3,+2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt ( 0 ,+2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,+2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3, 0 ,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3, 0 ,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (+2/3,-2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt ( 0 ,-2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) ∪ (flyt (-2/3,-2/3,-2/3) )º(mul 1/3) (sierpinski n-1) |
Når man siger Sierpinski-svampen mener man egentlig "sierpinski ∞". Den kan desværre ikke rigtigt tegnes, men "sierpinski 4" giver et godt indtryk af hvordan den må se ud.
Der findes en 2-dimensionel udgave af Sierpinski-svampen, som hedder Sierpinski-tæppet.
Sierpinski-tæppet er det "fodaftryk" som Sierpinski-svampen giver. Det kan konstrueres ved, igen og igen, at klistre 8 mindre Sierpinski-tæpper sammen.
Det er muligt at regne ud hvad Sierpinski-tæppets areal (A) og omkreds (P) er.
A 0 = 22 = 4
A n = 8·(1/3)2·(A n-1) = (8/9)·(A n-1)
Der står at "sierptæppe 0" har areal 4, og at arealet af "sierptæppe n" (A n) er det samme som alle de (8) små ((1/3)2) Sierpinski-tæppers areal (A n-1). Man kan regne på formlerne, og få at:
A n = (8/9)n·4
Tilsvarende findes omkredsen (periferien) sådan:
P 0 = 4·2 = 8
P n = 8·(1/3)·(P n-1) - 8·(1/3)·2·2
= (8/3)·(P n-1) - (32/3)
Omkredsen (P n) er det samme som alle de (8) mindre (1/3) Sierpinski-tæppers omkreds (P n-1), fraregnet længden af alle (8) små (1/3) sider (2) hvor de støder mod hinanden, og de er to (2) om at støde mod hinanden. Disse formler kan der osse regnes på, og man kan få:
P n = (8/5)·(8/3)n + (32/5)
Man kan regne rumfang (V) og overfladeareal (A) ud for Sierpinski-svampen. Det gøres på samme måde som for Sierpinski-tæppet. Jeg udelader kommentarer, og skriver kun de hårde fakta...
V 0 = 23 = 8
V n = 20·(1/3)3·(V n-1)
der giver
V n = (20/27)n·8
og
A 0 = 6·22 = 24
A n = 20·(1/3)2·(A n-1) - 24·(1/3)2·(At n-1)·2
= (20/9)·(A n-1) - (64/3)·(8/9)n-1
(At
er Sierpinski-tæppets areal)
der giver
A n = (8/9)n·16 + (20/9)n·8
Hvad betyder det for Sierpinski-svampen, "sierpinski ∞"? Jo, som n → ∞, så vil V n → 0, mens A n → ∞. Lidt forenklet sagt har "sierpinski ∞" ikke noget rumfang, men et uendelig stort overfladeareal!
Det, som skal skæres væk fra en massiv kube for at få en Sierpinski-svamp, ser sådan ud:
Mens Sierpinski-svampen har et rumfang på 0, så har Sierpinski-luften et rumfang på 8 (når n → ∞). Sierpinski-luftens overfladeareal → ∞, ligesom Sierpinski-svampens.
|
http://www.h33.dk/sierpinski_index.html
sidst ændret 27.mar.2005 © 1997-2005 Bjørn Hee, mailto:webmaster@h33.dk |